TRANSFORMACIONES LINEALES.

Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. ´ Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Definición: sean (V, +V , ·V ) y (W, +W , ·W ) dos K-espacios vectoriales.

Una función f : V → W se llama una transformación lineal (u homomorfismo, o simplemente morfismo) de V en W si cumple:

 i) f(v +V v 0 ) = f(v) +W f(v 0 ) ∀ v, v0 ∈ V.

 ii) f(λ ·V v) = λ ·W f(v) ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V.

Sean  y  espacios vectoriales sobre  (donde  representa el cuerpo) se satisface que:

Si  es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de  de la siguiente manera: 

                   

                   

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:

1.  dado que  (para probar esto, observar que
2. Dados 
3. Dados 

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. 

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Transformaciones lineales: https://www.youtube.com/watch?v=NYA9PNPgDHA

Núcleo e imagen de una transformación lineal: a una transformación lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su nucleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitira determinar si f es inyectiva.

Definicion: sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f −1 ({0}).

Proposicion: sea f : V → W una transformación lineal. Entonces f es monomorfismo ⇐⇒ Nu(f) = {0} Demostración.

 (⇒) Si f es un monomorfismo, entonces es una funci´on inyectiva. En particular, existe a lo sumo un elemento v ∈ V tal que f(v) = 0. Puesto que f(0) = 0, debe ser v = 0. Luego, Nu(f) = {0}. 

(⇐) Sean v, v0 ∈ V . Supongamos que f(v) = f(v 0 ). Entonces f(v − v 0 ) = f(v) − f(v 0 ) = 0, con lo que v−v 0 ∈ Nu(f) y por lo tanto, la hipotesis Nu(f) = {0} implica que v−v 0 = 0, es decir, v = v 0 . Luego f es inyectiva. 

Otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen. Recordamos que si f : V → W, su imagen se define como Im(f) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V, f(v) = w}.

Núcleo e imagen de una aplicación lineal: https://www.youtube.com/watch?v=je4VSjBhX04


Representación matricial de una transformación lineal :Si V y W son K-espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente, una transformación lineal f : V → W queda unıvocamente determinada por los n vectores de W que son los valores de f en una base cualquiera de V . Ademas, fijada una base de W, estos n vectores quedan determinados por medio de sus vectores de coordenadas en Km. Se define entonces una matriz asociada a f que contiene toda esta información.

Definición : sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita. Sean B1 = {v1, . . . , vn} una base de V y B2 = {w1, . . . , wm} una base de W. Sea f : V → W una transformación lineal. Supongamos que f(vj ) = Pm i=1 αijwi (1 ≤ j ≤ n). Se llama matriz de f en las bases B1, B2, y se nota |f|B1B2 , a la matriz en Km×n definida por (|f|B1B2 )ij = αij para cada 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Notación. Si f : V → V y B1 = B2 = B, notaremos |f|B = |f|BB.

Observación ; si consideramos la transformación lineal asociada a una matriz A ∈ Kn×m, fA : Km → Kn definida por fA(x) = A.x, entonces, a partir de la definicion anterior, la matriz de fA en las bases canónicas E y E0 de Km y Kn respectivamente resulta ser |fA|EE0 = A. 

Observación: sea V un K-espacio vectorial de dimensión n, y sean B1 y B2 bases de V . Entonces |idV |B1B2 = C(B1, B2), la matriz de cambio de base de B1 a B2.
Mediante el uso de las matrices introducidas en la definición y de vectores de coordenadas, toda transformación lineal puede representarse como la multiplicación por una matriz fija. 


Ejemplos de transformación lineal en forma matricial: https://www.youtube.com/watch?v=oFcsIgQ7VUY



Isomorfismos: Sean V y V dos espacios vectoriales sobre un campo K. Una función, mapeo o transformación, T , inyectiva y sobreyectiva, y por lo tanto biyectiva, del espacio vectorial V sobre el espacio vectorial V , es un isomorfismo de espacios vectoriales si T : V → V es una transformación lineal; i.e. Si para todo v1, v2 ∈ V y para todo λ ∈ K la transformación satisface las siguientes propiedades: 

1. Aditiva 
                                 T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2). 

2. Homogenea 
                                  T (λv1) = λT (v1) 

En otras palabras, un isomorfismo de espacios vectoriales es simplemente una transformacion lineal biyectiva. 
Definicion de espacios vectoriales isomorficos: dos espacios vectoriales V y V se dice que son isomorficos si existe un isomorfismo de espacios vectoriales T : V → V . 
Definicion del mapeo coordenado: Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea B = {v1, v2,...,vn}1 una base de V y sea T : V → Kn el mapeo que asigna a cada v ∈ V su vector coordenado con respecto a la base B. Es decir

 T (v)=(a1, a2,...,an) donde v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn

 Entonces T es el mapeo coordenado de V con respecto, o relativo, a la base B. 

Teorema: sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea B = {v1, v2,...,vn} una base de V. Sea T : V → Kn el mapeo coordenado de V con respecto a la base B. Entonces el mapeo coordenado es un isomorfismo de espacios vectoriales. P

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K el mapeo identidad IV : V → V IV (v) = v ∀v ∈ V. es un isomorfismo de V sobre si mismo. 

Función inyectiva sobreyectiva  y biyectiva: la función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial Xal que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.

En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:

                                      

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Isomorfismo: https://www.youtube.com/watch?v=TSqMTwiXOZc

Isometria: En álgebra lineal, el estudio de las isometrías vectoriales está destinado a comprender el comportamiento de determinadas transformaciones lineales. 

Por definición, una isometría es una función que conserva las distancias. A partir de esto, se obtienen las siguientes isometrías: traslación, rotación y simetría. De estas tres funciones, la primera no es una transformación lineal (pues una traslación es una función de la forma T(x,y)=(x+k1,y+k2)$T(x,y)=(x+k_1,y+k_2)$ donde ki∈R$k_i\in \mathbb{R}$), por esta razón, nos abocaremos al estudio de las rotaciones y simetrías en R2${\mathbb{R}}^2$ y R3${\mathbb{R}}^3$, únicamente. 

Definición :

T:V→V$T:V\to V$ transformación lineal es una isometría sii T$T$ es ortogonal.

Isometrías en R2${\mathbb{R}}^2$ 

· Rotación:

Si la matriz asociada a T$T$ en una base ortonormal es de la forma tipo: 

A(T)A=(cos(θ)sen(θ)−sen(θ)cos(θ))$${}_A(T{)}_A=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\text{sen}(\theta )\\ \text{sen}(\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right)$$

Entonces T$T$ es una rotación de ángulo θ$\theta$ y de centro en el origen. 

Proposición :

T:R2→R2$T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ transformación lineal, es una rotación sii det(T)=1$det(T)=1$.

Demostración :

det(T)=det(A(T)A)=∣∣∣cos(θ)sen(θ)−sen(θ)cos(θ)∣∣∣=cos2(θ)+sen2(θ)=1□

Isometrías en R3${\mathbb{R}}^3$ :

Las isometrías en el espacio, son un tanto más complejas que identificar que las del plano. A continuación, veremos dos métodos "distintos" para determinar el tipo de isometría en R3${\mathbb{R}}^3$. 

De aquí en más, A=B(T)B$A{=}_B(T{)}_B$. 

1. Si det(A)=1$det(A)=1$ entonces la matriz A$A$ es de la forma: 

(a) A=I$A=I$, la isometría T$T$ es la identidad (A$A$ tiene los valores propios: MA(1)=3$MA(1)=3$). 
(b) A$A$ tiene los valores propios: MA(1)=1,MA(−1)=2$MA(1)=1,MA(-1)=2$. Entonces T$T$ es una simetría axial respecto a la recta S1$S_1$(subespacio propio asociado al valor propio λ=1$\lambda =1$). El plano S−1$S_{-1}$ es un subespacio invariante. 
(c) A$A$ tiene los valores propios: MA(1)=1$MA(1)=1$, y los restantes dos valores propios son complejos. En este caso T$T$ es una rotación de ángulo θ:tr(A)=1+2⋅cos(θ)$\theta :\text{tr}(A)=1+2·\cos (\theta )$ al rededor del eje de vectores invariantes S1$S_1$. Algunos ejemplos: 

Matriz asociada⎛⎝⎜1000cos(θ)sen(θ)0−sen(θ)cos(θ)⎞⎠⎟⎛⎝⎜cos(θ)0sen(θ)010−sen(θ)0cos(θ)⎞⎠⎟⎛⎝⎜cos(θ)sen(θ)0−sen(θ)cos(θ)0001⎞⎠⎟Eje de simetríaEje Ox⃗ Eje Oy⃗ Eje Oz⃗ 

2. Si det(A)=−1$det(A)=-1$ entonces la matriz A$A$ es de la forma: 

(a) A$A$ tiene los valores propios: MA(1)=2,MA(−1)=1$MA(1)=2,MA(-1)=1$. Se trata de una simetría respecto del plano de vectores invariantes S1$S_1$. 
(b) A$A$ tiene los valores propios: MA(−1)=3$MA(-1)=3$. En este caso la isometría T$T$ es una simetría central (respecto al origen). 
(c) A$A$ tiene los valores propios: MA(−1)=1$MA(-1)=1$ y dos valores propios complejos conjugados. En este caso la isometría T$T$ es una composición de una rotación (de ángulo θ:tr(A)=−1+2⋅cos(θ)$\theta :\text{tr}(A)=-1+2·\cos (\theta )$) y una simetría.


Casos particulares 

MovimientoIdentidadSimetría centralÁngulo0πMatriz asociada(1001)(−100−1)$$$$